Optimal Maintenance Decisions for Hydraulic Structures under Isotropic Deterioration by Jan M. van Noortwijk (Summary of Ph.D. Thesis in Dutch).

Om Nederland te beschermen tegen overstromingen is een stelsel van waterkeringen aangelegd. Er zijn drie-en-vijftig dijkringgebieden te onderscheiden die worden omsloten door een ring van duinen, dijken, bijzondere waterkerende constructies (b.v. de stormvloedkering in de Oosterschelde) en hoge gronden. Elke component van een dijkring moet bepaalde functies vervullen op het gebied van veiligheid, natuur, recreatie, scheepvaart, verkeer, transport, landbouw, visserij en landschap. Als een component van een dijkring - tengevolge van functieverlies - zodanig veroudert dat het niet meer voldoet aan zijn belangrijkste functies, dan moet onderhoud worden uitgevoerd; en dit liefst tegen minimale kosten. Het proefschrift is gewijd aan het bepalen van kosten-optimale onderhoudsbeslissingen voor waterbouwkundige constructies die onderhevig zijn aan veroudering.

Onderhoud wordt gedefinieerd als een combinatie van activiteiten die worden uitgevoerd om een waterbouwkundige constructie terug te brengen in of te 'vernieuwen' naar de gewenste toestand. In de waterbouwkunde is er meestal sprake van kostbaar toestandsafhankelijk preventief onderhoud, d.w.z. van onderhoud dat is gebaseerd op het inspecteren van de toestand van een constructie. In Nederland verschuift de aandacht van het bouwen van constructies naar het onderhouden van constructies en het gebruik van modellen voor onderhoudsoptimalisatie is daarom van groot belang.

Gedurende de levenscyclus van een constructie zijn er twee fasen, waarin het economisch aantrekkelijk is om onderhoudsoptimalisatie toe te passen, namelijk de ontwerpfase en de gebruiksfase. In de ontwerpfase kan een optimale balans worden gevonden tussen initiŽle bouwkosten enerzijds en toekomstige onderhouds- en faalkosten anderzijds ('life cycle costing'). In de gebruiksfase kan de som van inspectie-, reparatie-, vervangings- en faalkosten worden geminimaliseerd. Van het grote aantal modellen voor onderhoudsoptimalisatie dat in de literatuur is gepubliceerd, concentreren de meeste zich op de wiskundige aspecten. Omdat deze modellen alleen kunnen worden gebruikt als er een overvloed van gegevens beschikbaar is, wordt slechts een klein deel hiervan toegepast.

In de waterbouwkunde wordt vaak een onderscheid gemaakt tussen de sterkte van een constructie (b.v. de kruinhoogte van een dijk) en haar ontwerpbelasting (b.v. het maximale waterniveau dat moet worden weerstaan). Falen kan dan worden gedefinieerd als de gebeurtenis waarbij de sterkte - tengevolge van veroudering of functieverlies - beneden de belasting zakt. Aangezien veroudering (of functieverlies) onzeker is, kan zij het beste worden beschouwd als een stochastisch proces.

Hoewel het gebruikelijk is om een verouderingsproces wiskundig te modelleren als een zogenaamde 'Brownse beweging met drift' (een stochastisch proces met stationaire onafhankelijke afnemende en toenemende verouderingen die een normale verdeling hebben), is dit model niet geschikt om het verouderingsgedrag van waterbouwkundige constructies te beschrijven. Zo kan bij een normaal verdeelde veroudering een dijk spontaan omhoog komen, hetgeen in de praktijk niet gebeurt. Verder is er bij de meeste toepassingen slechts informatie aanwezig in de vorm van een kansverdeling (onzekerheidsverdeling) van de gemiddelde verouderingssnelheid.

Om te bewerkstelligen dat een stochastisch verouderingsproces de gewenste eigenschappen heeft, beschouwen we het als een zogenaamd 'gegeneraliseerd gamma-proces'. Een gamma-proces is een stochastisch proces met onafhankelijke, niet-negatieve aangroeiingen (b.v. toenemende verouderingen in de vorm van kruinhoogtedaling van een dijk) die een gamma-verdeling hebben met een bekende (zekere) gemiddelde veroudering. Een gegeneraliseerd gamma-proces wordt dan gedefinieerd als een zogenaamd 'mengsel' van gamma-processen, waarbij het mengsel de onzekerheid representeert in de onbekende (onzekere), gemiddelde veroudering. Als aanvulling op de klassieke karakterisering van gamma-processen in de vorm van samengestelde Poisson-processen, worden in het proefschrift twee nieuwe wiskundige karakteriseringen van gegeneraliseerde gamma-processen gepresenteerd: (i) in de vorm van conditionele kansverdelingen (gegeven een cumulatieve veroudering die dient als een samenvattende, uitputtende steekproefgrootheid voor de gemiddelde verouderingssnelheid) en (ii) in de vorm van isotropische kansverdelingen (een l_p-isotropische kansverdeling kan worden geschreven als een functie van de l_p-norm).

Een 'handige' eigenschap van gegeneraliseerde gamma-processen is dat verschillende probabilistische karakteristieken, zoals de kans op overschrijden van een faalgrens in een bepaalde tijdseenheid, expliciet kunnen worden uitgedrukt bij een gegeven gemiddelde verouderingssnelheid. In wiskundige termen betekent dit, dat we altijd tijdseenheden van gelijke lengte kunnen vinden, waarvoor de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie van de aangroeiingen kan worden geschreven als een mengsel van exponentiŽle kansdichtheden. Dit mengsel representeert de onzekerheid in de onbekende gemiddelde verouderingssnelheid. Omdat de kansdichtheidsfunctie van iedere eindige rij van aangroeiingen in dit geval kan worden geschreven als een functie van de som van de aangroeiingen (d.w.z. de l_1-norm van de aangroeiingen), wordt zo'n oneindige rij van aangroeiingen l_1-isotropisch of l_1-norm-symmetrisch genoemd. Vanwege de verwisselbaarheid van de l_1-isotropische aangroeiingen is de verwachte cumulatieve veroudering lineair in de tijd.

Om optimale onderhoudsbeslissingen te bepalen, waarbij expliciet rekening wordt gehouden met de onzekerheid in de gemiddelde verouderingssnelheid, kan gebruik worden gemaakt van statistische beslissingstheorie. Een beslisser kan in zo'n geval een onderhoudsbeslissing nemen waarvoor het verwachte financiŽle verlies (in de vorm van de verwachte onderhouds- en faalkosten) minimaal is; een dergelijke beslissing wordt een optimale beslissing genoemd. Het verwachte verlies wordt berekend met betrekking tot de kansverdeling van de gemiddelde verouderingssnelheid, welke kansverdeling overigens kan worden bijgewerkt met (nieuwe) waarnemingen met behulp van de stelling van Bayes.

Onderhoud van waterbouwkundige constructies kan het beste worden gemodelleerd door middel van een zogenaamd 'vernieuwingsproces', waarbij de vernieuwingen onderhoudsacties voorstellen, die een constructie terugbrengen in de gewenste toestand. Statistisch gezien beginnen we na iedere vernieuwing weer opnieuw. Omdat de geplande levensduur (inclusief onderhoud) van de Nederlandse dijkringen in principe oneindig is, kunnen onderhoudsbeslissingen het beste worden vergeleken over een oneindige tijdshorizon. Er bestaan feitelijk drie kostencriteria, die kunnen dienen als verliesfunctie:

  1. de verwachte gemiddelde kosten per tijdseenheid (die worden bepaald door de kosten te middelen over een oneindige tijdshorizon);
  2. de verwachte gedisconteerde kosten over een oneindige tijdshorizon (die worden bepaald door de gedisconteerde kosten, d.w.z. de contante waarden van de kosten, te sommeren over een oneindige tijdshorizon); en
  3. de verwachte equivalente gemiddelde kosten per tijdseenheid (die worden bepaald door de gedisconteerde kosten te middelen).
Deze kostencriteria kunnen worden berekend met behulp van de vernieuwingstheorie (de discrete vernieuwingsstelling). Door het begrip 'equivalente gemiddelde kosten' relateren de begrippen 'gemiddelde kosten' en 'gedisconteerde kosten' aan elkaar. Hoewel er in de literatuur tot nu toe de meeste aandacht wordt geschonken aan het begrip 'gemiddelde kosten', zijn de criteria van gedisconteerde kosten en equivalente gemiddelde kosten het meest geschikt om een optimale balans te vinden tussen initiŽle bouwkosten en toekomstige onderhoudskosten.

Op basis van gegeneraliseerde gamma-processen, zijn probabilistische modellen op maat gemaakt om optimale onderhoudsbeslissingen te onderbouwen voor de volgende kenmerkende componenten van een dijkring:

De modellen voor zandsuppletie en dijkophoging zijn voorbeelden van onderhoudsoptimalisatie in de ontwerpfase, terwijl de twee inspectie-modellen voorbeelden zijn van onderhoudsoptimalisatie in de gebruiksfase.

In het laatste gedeelte van het proefschrift worden twee beslissingsmodellen gepresenteerd die niet direct uitgaan van verouderingsprocessen: ťťn model voor het evalueren en vergelijken van beslissingen, die overstromingsschade langs de Maas kunnen reduceren (met behulp van l_1-isotropie en gedisconteerde kosten) en ťťn model voor het optimaliseren van onderhoud, indien de onzekerheid in faalkansen kan worden uitgedrukt als een Dirichlet-verdeling. Wanneer zowel de sterkte als de belasting stochastisch zijn, zal met name het laatstgenoemde model in aanmerking komen om te worden toegepast.

Hoewel de beslissingsmodellen in het proefschrift primair zijn ontwikkeld voor het onderhoud van stranden, dijken, dynamisch-stabiele golfbrekers en de Oosterscheldekering, kunnen ze ook worden toegepast op andere waterbouwkundige constructies en andere technische systemen voor het oplossen van vele beslissingsproblemen in onderhoudsoptimalisatie en 'life cycle costing'.


Back to Jan van Noortwijk's home page: www.janvannoortwijk.nl